حل فعالیت صفحه 90 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 90 - کار در کلاس 1 همانطور که در صورت سؤال آمده است، دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle A'B'C'$ **هم‌نهشت** هستند ($\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$). این به این معناست که تمام اجزای متناظر آن‌ها با هم برابرند. **تناظر رئوس:** * $A \leftrightarrow A'$ * $B \leftrightarrow B'$ * $C \leftrightarrow C'$ ### **۱. محاسبه‌ی ضلع $\overline{BC}$ (وتر مثلث $ABC$)** مثلث $ABC$ قائم‌الزاویه در $A$ است. از **رابطه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کنیم: $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$ $$8^2 + 6^2 = BC^2$$ $$64 + 36 = BC^2$$ $$BC^2 = 100$$ $$BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$ ### **۲. محاسبه‌ی زاویه‌ی $\hat{C}$ (مثلث $ABC$)** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است: $$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$$ $$90^{\circ} + 37^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}$$ $$127^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}$$ $$\hat{C} = 180^{\circ} - 127^{\circ} = 53^{\circ}$$ ### **۳. تعیین اندازه‌ی ضلع‌ها و زاویه‌های مثلث $\triangle A'B'C'$** با استفاده از خاصیت هم‌نهشتی، اندازه‌ی اجزای متناظر را می‌نویسیم: **الف) زاویه‌ها:** $$\hat{A'} = \hat{A} = 90^{\circ}$$ $$\hat{B'} = \hat{B} = 37^{\circ}$$ $$\hat{C'} = \hat{C} = 53^{\circ}$$ **ب) ضلع‌ها:** $$\overline{A'B'} = \overline{AB} = 8 \text{ cm}$$ $$\overline{A'C'} = \overline{AC} = 6 \text{ cm}$$ $$\overline{B'C'} = \overline{BC} = 10 \text{ cm}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 90 - فعالیت 2 **قرینه‌سازی (بازتاب)** یک تبدیل **ایزومتریک** است که شکل حاصل را نسبت به شکل اولیه هم‌نهشت می‌کند. پس چهارضلعی‌های $DEFG$ و $HIJK$ هم‌نهشت هستند. $$\mathbf{DEFG \cong HIJK}$$ در بازتاب نسبت به یک خط افقی ($d$): * **جهت‌گیری** شکل عوض می‌شود (مثل نگاه کردن در آینه). * **تناظر رئوس** به ترتیب حفظ نمی‌شود، بلکه باید بر اساس موقعیت در شکل قرینه و نقاط متناظر تعیین شود. با توجه به تصویر، تناظر رئوس به صورت زیر است: * $D$ متناظر با $H$ * $E$ متناظر با $I$ * $F$ متناظر با $J$ * $G$ متناظر با $K$ **تناظر هم‌نهشتی:** $\mathbf{DEFG \cong HIJK}$ (این تناظر با توجه به قرینه شدن درست نیست. باید **DEFG \cong H I J K** باشد. با فرض اینکه رئوس به ترتیب در قرینه نیز نامگذاری شده‌اند، فرض می‌کنیم $D$ متناظر $H$، $E$ متناظر $I$، $F$ متناظر $J$ و $G$ متناظر $K$ باشد). ### **۱. تعیین اندازه‌ی ضلع‌های $HIJK$** بر اساس هم‌نهشتی، اضلاع متناظر برابرند: * $\overline{HI} = \overline{DE} = 3 \text{ cm}$ * $\overline{IJ} = \overline{EF} = 2 \text{ cm}$ * $\overline{JK} = \overline{FG}$ (نامعلوم) * $\overline{KH} = \overline{GD} = \sqrt{5} \text{ cm}$ (حدوداً $2.23 \text{ cm}$) ### **۲. تعیین اندازه‌ی زاویه‌های $HIJK$** زوایای متناظر برابرند: * $\hat{H} = \hat{D} = 115^{\circ}$ * $\hat{I} = \hat{E} = 90^{\circ}$ (در هر دو شکل با مربع مشخص شده) * $\hat{J} = \hat{F}$ (نامعلوم) * $\hat{K} = \hat{G}$ (نامعلوم) ### **۳. محاسبه‌ی ضلع‌های مجهول ($\overline{FG}$ و $\overline{JK}$) و زاویه‌های مجهول ($\hat{F}$ و $\hat{J}$ و $\hat{G}$ و $\hat{K}$)** برای محاسبه‌ی ضلع $\overline{FG}$، در $\triangle DFE$ که قائم‌الزاویه در $E$ است، $\overline{DF}$ را پیدا می‌کنیم (خط آبی نقطه‌چین). اما برای پیدا کردن $\overline{FG}$ باید از مثلث $DFG$ که $\overline{DF}$ در آن مشترک است استفاده کنیم و زاویه‌ی $\hat{G}$ یا $FG$ داده نشده است. در مسئله اطلاعات کافی برای محاسبه‌ی $\overline{FG}$ و $\hat{G}$ و در نتیجه $\overline{JK}$ و $\hat{K}$ وجود ندارد. **پاسخ‌های قطعی:** * **ضلع‌ها:** $\overline{HI}=3 \text{ cm}$، $\overline{IJ}=2 \text{ cm}$، $\overline{KH}=\sqrt{5} \text{ cm}$ * **زاویه‌ها:** $\hat{H}=115^{\circ}$، $\hat{I}=90^{\circ}$ **نکته درباره زاویه‌ی $\hat{K}$:** در شکل $HIJK$، زاویه‌ی $\hat{K}$ نیز $90^{\circ}$ علامت‌گذاری شده است. اگر این علامت‌گذاری صحیح باشد، آنگاه $\hat{G} = 90^{\circ}$ و $DEFG$ یک ذوزنقه‌ی قائم‌الزاویه خواهد بود. در این صورت $\hat{F}$ نیز محاسبه می‌شود: $$\hat{F} = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 115^{\circ} + 90^{\circ}) = 360^{\circ} - 295^{\circ} = 65^{\circ}$$ و در نتیجه $\hat{J} = 65^{\circ}$ و $\overline{FG}$ با فیثاغورس محاسبه می‌شود: $\overline{DF}^2 = DE^2 + EF^2 = 3^2 + 2^2 = 13 \implies DF=\sqrt{13}$. در مثلث $DFG$، $\overline{FG}^2 = \overline{DF}^2 - \overline{DG}^2 = 13 - 5 = 8 \implies FG = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. بنابراین اگر $\hat{K}=90^{\circ}$ را بپذیریم: * $\overline{JK} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$ * $\hat{G} = 90^{\circ}$، $\hat{K} = 90^{\circ}$ * $\hat{F} = 65^{\circ}$، $\hat{J} = 65^{\circ}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 90 - تمرین 3 وقتی مثلث $ABC$ با **انتقال** بر مثلث $A'B'C'$ منطبق می‌شود، این بدان معناست که دو مثلث **هم‌نهشت** هستند ($\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$). بنابراین، اضلاع متناظر آن‌ها باید برابر باشند. **تناظر اضلاع:** * $\overline{AB}$ متناظر $\overline{A'B'}$ * $\overline{AC}$ متناظر $\overline{A'C'}$ * $\overline{BC}$ متناظر $\overline{B'C'}$ ### **۱. حل معادله برای $x$ (اضلاع $\overline{AB}$ و $\overline{A'B'}$):** $$\overline{AB} = \overline{A'B'}$$ $$3x = x + 2$$ این معادله در صورت سؤال حل شده و نتیجه $\mathbf{x = 1}$ به دست آمده است. (طول ضلع $3$). ### **۲. حل معادله برای $y$ (اضلاع $\overline{AC}$ و $\overline{A'C'}$):** $$\overline{AC} = \overline{A'C'}$$ $$y + 3 = 5y - 5$$ **گام ۱: جداسازی $y$** (انتقال $y$ به سمت راست و $-5$ به سمت چپ) $$3 + 5 = 5y - y$$ $$8 = 4y$$ **گام ۲: محاسبه $y$** $$y = \frac{8}{4}$$ $$\mathbf{y = 2}$$ ### **۳. محاسبه اندازه‌ی ضلع‌ها** حالا با جایگذاری مقادیر $x=1$ و $y=2$، طول تمام اضلاع را محاسبه می‌کنیم: * **ضلع $\overline{AB}$ و $\overline{A'B'}$:** $$\overline{AB} = 3x = 3(1) = \mathbf{3}$$ $$\overline{A'B'} = x+2 = 1+2 = \mathbf{3}$$ * **ضلع $\overline{AC}$ و $\overline{A'C'}$:** $$\overline{AC} = y+3 = 2+3 = \mathbf{5}$$ $$\overline{A'C'} = 5y-5 = 5(2) - 5 = 10 - 5 = \mathbf{5}$$ * **ضلع $\overline{BC}$ و $\overline{B'C'}$:** $$\overline{BC} = 7$$ $$\overline{B'C'} = z$$ $$\overline{B'C'} = \overline{BC} \implies \mathbf{z = 7}$$ **نتیجه نهایی:** طول اضلاع هر دو مثلث $3$، $5$ و $7$ است.